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Resolução Passo a Passo: Cálculo de (A-2I)² com Matrizes

 Olá, concurseiros e amantes da matemática! Hoje vamos resolver juntos uma questão interessante que envolve o cálculo de (A-2I)², onde A é uma matriz dada. Esta é uma ótima oportunidade para revisarmos conceitos importantes de álgebra linear. Vamos lá!

Questão: Dada a matriz 𝐴 = $\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 3& -2& -1\\ 4& -1& 2\end{array}\right)$, calcule (A-2I)².

Passo 1: Identificar a Matriz A e a Matriz Identidade I

A matriz A é dada por: $�=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 3& -2& -1\\ 4& -1& 2\end{array}\right)$

A matriz identidade I (3x3, neste caso), é: $�=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Passo 2: Calcular 2I

$2�=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

Passo 3: Encontrar A-2I

$�-2�=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 3& -2& -1\\ 4& -1& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 1\\ 3& -4& -1\\ 4& -1& 0\end{array}\right)$

Passo 4: Calcular (A-2I)²

Agora, precisamos calcular o quadrado da matriz que acabamos de encontrar. Isto é, multiplicar a matriz por ela mesma.

$(�-2�{)}^2=(�-2�)\times (�-2�)$

Vamos calcular essa multiplicação de matrizes:

$\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 1\\ 3& -4& -1\\ 4& -1& 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 1\\ 3& -4& -1\\ 4& -1& 0\end{array}\right)$

A multiplicação de matrizes é feita multiplicando-se as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somando os resultados.

Passo 5: Verificar a Resposta Correta

Após a multiplicação, vamos comparar o resultado com as opções fornecidas e selecionar a correta.

E aí, conseguimos? Que tal tentar fazer o cálculo como exercício e verificar qual das opções é a resposta correta? Não se esqueça, a prática leva à perfeição, principalmente quando se trata de matrizes e álgebra linear!